Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上存在一点P，使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线x=-

a2

c

（其中c²=a²+b²）的距离，则双曲线C离心率的取值范围是（　　）

• A、(1，

  2

  ]
• B、[

  2

  ，+∞)
• C、(1，

  2

  +1]
• D、[

  2

  +1，+∞)

Answer 1

分析：由双曲线的定义可得 PF′-PF=2a，

PF′

PF

=e，可得ePF-PF=2a，即 PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥
c-a，故

c

a

≤

2

+1，再由 e＞1 得到 1＜e≤

2

+1．

解答：解：设双曲线的由焦点F （c，0），左焦点F′（-c，0 ），由双曲线的定义可得 PF′-PF=2a，
 

PF′

PF

=e，∴ePF-PF=2a，∴PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，∴

c

a

≤

2

+1．
再由 e＞1，∴1＜e≤

2

+1，
故选  C．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到  PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，
是解题的关键．