Question

【题目】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.若直线的参数方程为为参数）,曲线的极坐标方程为.

（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（II）设直线与曲线相交于两点，若点的直角坐标为，求的值.

Answer 1

【答案】(1)；.

(2) .

【解析】分析：（I）由直线参数方程消参数去，即可求得直线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；

（II）把直线的参数方程为为参数），曲线的直角坐标方程，求得，即可利用参数的几何意义求解结论.

详解：（I）由参数方程为参数）消去可得，

即直线的普通方程为.

由可得，因此，

所以，

故曲线的直角坐标方程为.

（II）由于，令，则直线的参数方程为为参数）.

将代入曲线的直角坐标方程可得，

设两点对应的参数分别为，则，

于是.

故.