Question

已知函数f（n）=log_（n+1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）••f（n）=k，那么我们称k为“好整数”．当n∈[1，2013]时，则所有符合条件的“好整数”之和为（　　）

• A、54
• B、55
• C、65
• D、66

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题

分析：利用对数的换底公式化简f（1）•f（2）••f（n），得到f（1）•f（2）••f（n）=log₂（n+2），由n+2是2的k （k∈N^*）次幂求出n，再由n∈[1，2013]求出所有的k的值，作和后得答案．

解答： 解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2）=

lg(n+2)

lg(n+1)

，(n∈N*)，
∴f（1）•f（2）…f（n）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)
又f（1）•f（2）••f（n）=k，k为整数，∴n+2必须是2的k （k∈N^*）次幂，
即n=2^k-2．
由2^k-2≤2013，得2^k≤2015，∴k的最大值为10．
则所有符合条件的“好整数”之和为1+2+…+10=55．
故选：B．

点评：本题考查了对数的换底公式，考查了对数的运算性质，体现了数学转化思想方法，是基础的计算题．