Question

1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁与平面ABC₁D₁所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出图象，连接A₁D，AD₁交于点O，连接OC₁，可证∠A₁C₁O即为所求角，解Rt△A₁C₁O即可求得答案．

解答 解：如图所示：
连接A₁D，AD₁交于点O，连接OC₁，
在正方体中，∵AB⊥平面AD₁，∴AB⊥A₁D，
又A₁D⊥AD₁，且AD₁∩AB=A，
∴A₁D⊥平面AD₁C₁B，
所以∠A₁C₁O即为所求角，
在Rt△A₁C₁O中，$sin∠{A}_{1}{C}_{1}O=\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
所以A₁C₁与平面ABC₁D₁所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面所成的角的求解，考查学生的推理论证能力，属中档题．