Question

20．已知奇函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-mx（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+2x（x＜0）}\end{array}\right.$
（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象
（2）若函数g（x）=a-2在与f（x）有3个交点，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，结合奇函数满足f（x）=-f（-x），可得m的值，再结合二次函数的图象和性质，得到y=f（x）的图象
（2）结合（1）中函数的图象，可得函数g（x）=a-2在与f（x）有3个交点时，a-2∈（-1，1），解得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-mx（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+2x（x＜0）}\end{array}\right.$为奇函数，
当x＞0时，-x＜0，
则f（x）=-x²-mx，f（-x）=x²-2x，
由f（x）=-f（-x）得-x²-mx=-（x²-2x），
解得：m=2，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+2x（x＞0）\\ 0（x=0）\\{x}^{2}+2x（x＜0）\end{array}\right.$的图象为：

（2）若函数g（x）=a-2在与f（x）有3个交点，
则a-2∈（-1，1），
解得：a∈（1，3）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，难度中档．