Question

9．若（1-2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶（x∈R），则$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$的值为（　　）

• A． 2
• B． 0
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 在所给的等式中，令x=0可得a₀=1；令x=$\frac{1}{2}$可得a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，从而求得$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$的值．

解答 解：在（1-2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶中，令x=0可得，（1-0×2）²⁰¹⁶=a₀，即a₀=1，
在（1-2x）²⁰¹⁶=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₆x²⁰¹⁶中，令x=$\frac{1}{2}$可得，
（1-2×$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁶ =a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$，即a₀+$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=0，
而a₀=1，∴$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{{2}^{2016}}$=-1，
故选：C．

点评 此题是个基础题．此题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，特别是解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于中档题．