Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1)证明PA∥平面EDB；

（2)证明PB⊥平面EFD；

（3)求二面角C－PB－D的大小.

Answer 1

【答案】（1) 详见解析（2) 详见解析（3) 60°.

【解析】

试题分析：（1) 证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如三角形中位线性质（2) 证明线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化给予证明，其中线线垂直的寻找不仅可根据线面垂直关系转化，也可根据平几相关知识进行论证，如等腰三角形底边中线垂直于底边，正方形对角线相互垂直等（3) 先根据二面角定义确定平面角：∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.再根据解对应三角形求角.

试题解析：

（1)证明 如图所示，

连接AC，AC交BD于O，连接EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

（2)证明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，

∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

同样，由PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，

得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD.

（3)解 由（2)知，PB⊥DF.

故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，

则PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝a，PC＝a，DE＝a，

在Rt△PDB中，DF＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，

∴∠EFD＝60°.

∴二面角C－PB－D的大小为60°.