Question

20．已知椭圆方程为$\frac{1}{9}{x^2}+{y^2}$=1，过左焦点作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交椭圆于A，B两点，
（1）求弦AB的长；
（2）求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）左焦点F（$-2\sqrt{2}$，0），直线AB方程为：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为$4{x^2}+12\sqrt{2}x+15=0$，再利用弦长公式即可得出．
（2）利用点到直线的距离公式可得：点O到直线AB的距离d．利用S=$\frac{1}{2}d|AB|$即可得出．

解答 解：（1）左焦点F（$-2\sqrt{2}$，0），
直线AB方程为：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化为$4{x^2}+12\sqrt{2}x+15=0$，
∴x₁+x₂=$-3\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{4}{3}×[（3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=2．
（2）∵点O到直线AB的距离d=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形面积计算公式、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．