Question

已知函数f（x）=

a+lnx

x

在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在区间（t，t+

2

3

）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞)，有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；
（Ⅱ）假设存在区间（t，t+

2

3

）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到

0＜t＜1＜t+ 2 3 f(t)= 1+lnt t ＜0

，解此不等式组求得t的取值范围；
（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e²，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）-

k

x

，由函数在[e²，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e²，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．

解答： 解：（I）由f（x）=

a+lnx

x

，得f′(x)=

1 x •x-(a+lnx)

x2

=

1-a-lnx

x2

．
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′(0)=

1-a-ln1

12

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，
f′(x)=-

lnx

x2

．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；
（Ⅱ）∵x＞1时，f(x)=

1+lnx

x

＞0，
当x→0时，y→-∞，
由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，
∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：

∵函数f（x）在区间（t，t+

2

3

），t＞0上存在极值和零点．
∴

0＜t＜1＜t+ 2 3 f(t)= 1+lnt t ＜0

，解得

1

3

＜t＜

1

e

．
∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（

1

3

，

1

t

）；
（ III）由（I）的结论知，f（x）在[e²，+∞）上单调递减，
不妨设x1＞x2≥e2，则|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，则f(x2)-f(x1)≥k(

1

x2

-

1

x1

)．
∴f(x2)-

k

x2

≥f(x1)-

k

x1

．
∴函数F（x）=f（x）-

k

x

在[e²，+∞）上单调递减，
又F(x)=f(x)-

k

x

=

1+lnx

x

-

k

x

，
∴F′(x)=

k-lnx

x2

≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立．
在[e²，+∞）上(lnx)min=lne2=2，
k≤2．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．