Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，对?n∈N^*总有a_n+1=3a_n+2成立，
（1）计算a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的结果猜想数列的通项a_n，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用已知条件通过n=2，3，4，直接计算a₂，a₃，a₄的值，
（2）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a_n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．

解答： 解：（1）当n=1时，a₂=3×2+2=8；…（2分）
当n=2时，a₃=3×8+2=26；…（4分）
当n=3时，a₄=3×26+2=80；…（6分）
（2）结论：an=3n+1-1…（8分）
证明：1°当n=1时，a1=2=31-1-1显然成立；…（9分）
2°假设当n=k（k∈N^*）时成立，即ak=3k+1-1．
则当n=k+1时，an=ak+1=3ak+2=3(3k+1-1)+2=3(k+1)+1-1，
所以，当n=k+1时也成立，…（13分）
综合1°2°，可知，对任意n∈N^*，总有an=3n+1-1成立．  …（14分）

点评：本题考查数列递推关系式以及通项公式的应用，数学归纳法的证明方法的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．