【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),
(1)若函数f(x)在区间[﹣1,1]上不单调,求实数a的取值范围;
(2)记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值,证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2.
【答案】
(1)解:由题意知:
函数f(x)的对称轴为x=
∵函数f(x)在区间[﹣1,1]上不单调,
∴ ∈[﹣1,1]
∴a∈[﹣2,2])
(2)解:由|a|≥2得:a≥2,或a≤﹣2,
而函数f(x)的对称轴为直线x= ,
M(a,b)=|f(x)|max=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=
则4≤2|a|≤|1+a+b|+|1﹣a+b|≤2M(a,b)
即M(a,b)≥2)
【解析】(1)若函数f(x)在区间[﹣1,1]上不单调,则函数图象的对称轴x= ∈[﹣1,1],解得答案;(2)由|a|≥2得:a≥2,或a≤﹣2,则M(a,b)=|f(x)|max=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=
,进而可证得M(a,b)≥2.
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减).
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【题目】为检验寒假学生自主学习的效果,年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计,下面是政治成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是: ,
,
,
,
,
.
(1)求图中的值及平均成绩;
(2)从分数在中选5人记为
,从分数在
中选3人,记为
,8人组成一个学习小组.现从这5人和3人中各选1人做为组长,求
被选中且
未被选中的概率.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x(1﹣x).
(1)在如图所给直角坐标系中画出函数f(x)的草图,并直接写出函数f(x)的零点;
(2)求出函数f(x)的解析式.
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【题目】用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到”的概率分别是
.
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【题目】设偶函数f(x)的定义域为[﹣4,0)∪(0,4],若当x∈(0,4]时,f(x)=log2x,
(1)求出函数在定义域[﹣4,0)∪(0,4]的解析式;
(2)求不等式xf(x)<0得解集.
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【题目】【2017西安铁一中五模】已知函数,其中常数
.
(Ⅰ)讨论在
上的单调性;
(Ⅱ)当时,若曲线
上总存在相异两点
,使曲线
在
两点处的切线互相平行,试求
的取值范围.
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【题目】已知圆为参数
和直线
其中
为参数,
为直线
的倾斜角
.
(1)当时,求圆上的点到直线
的距离的最小值;
(2)当直线与圆
有公共点时,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),且对任意的x1∈[﹣1,2],都存在x2∈[﹣1,2],使f(x2)=g(x1),则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[ ,3]
D.(0, ]
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