Question

【题目】设偶函数f（x）的定义域为[﹣4，0）∪（0，4]，若当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，
（1）求出函数在定义域[﹣4，0）∪（0，4]的解析式；
（2）求不等式xf（x）＜0得解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），

当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，

那么：当x∈[﹣4，0）时，则﹣x∈（0，4]，

可得：f（﹣x）=log2﹣x，

∵f（﹣x）=f（x），

∴f（x）=log2﹣x，

故得f（x）的函数解析式为：

（2）解：当0＜x≤4时，f（x）=log2x，

∵0＜x＜1时，f（x）＜0，

不等式xf（x）＜0恒成立．

当﹣4≤x＜0时，f（x）=log2﹣x，

∵﹣4≤x＜﹣1时，f（x）＞0，

不等式xf（x）＜0恒成立．

综上所述：不等式的解集为（﹣4，﹣1）∪（0，1）

【解析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），当x∈（0，4]时，f（x）=log2x，可求x∈[﹣4，0）的解析式．（2）根据定义域的不同，解析式不同，分类解不等式即可．