Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，直线l：y=ax+b（a，b∈R）
（1）请你给出a，b的一组值，使直线l和椭圆C相交
（2）直线l和椭圆C相交时，a，b应满足什么关系？
（3）若a+b=1，试判断直线l和椭圆C的位置关系；
（4）请你在第（3）问的基础上添加一个合适的条件，求出直线l的方程，
（5）先将试题中的椭圆方程改为双曲线方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改为抛物线方程y²=4x，再在第（4）问添加的条件中选择一个，求出直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）取a=1，b=0，则直线l：y=x和椭圆C相交；
（2）直线l：y=ax+b代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，利用直线l和椭圆C相交，可得△＞0，即可确定a，b应满足的关系；（3）由a+b=1，可得直线l恒过（1，1），进而可得（1，1）在椭圆内，即可判断直线l和椭圆C恒相交；
（4）添加条件：直线l过点（2，0），则a=-1，可求直线l的方程；
（5）椭圆方程改为双曲线方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改为抛物线方程y²=4x，添加条件：直线l过点（2，0），可得直线l的方程．

解答：解：（1）取a=1，b=0，则直线l：y=x和椭圆C相交；
（2）直线l：y=ax+b代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，可得（1+2a²）x²+4abx+2b²-4=0
∵直线l和椭圆C相交，∴△=（4ab）²-4（1+2a²）（2b²-4）＞0，∴b²-4a²-2＜0
（3）∵a+b=1，∴b=1-a，∴y=ax+1-a，即y-1=a（x-1），∴直线l恒过（1，1）
（1，1）代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，可得

x2

4

+

y2

2

＜1，所以（1，1）在椭圆内
所以直线l和椭圆C恒相交；
（4）添加条件：直线l过点（2，0），则a=-1，∴直线l的方程为x+y-2=0；
（5）椭圆方程改为双曲线方程

x2

4

-

y2

2

=1，或改为抛物线方程y²=4x，添加条件：直线l过点（2，0），则a=-1，∴直线l的方程为x+y-2=0．

点评：本题是开放题，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．