Question

已知函数（a为常数）
（1）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值．

Answer 1

解：（1）证明：在（-∞，+∞）上任取两个值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（）-（）
=-=
∵2＞1且x₁＜x₂
∴＞0又
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
（2）∵f（x）为奇函数且在x=0处有意义，
∴f（0）=0
∴
∴a=1
分析：（1）要用函数的单调性的定义来证明函数是一个减函数，首先取两个具有大小关系的变量，利用这两个自变量的函数值相减，把最后结果整理成因式乘积的形式，判断差和0的关系．
（2）根据函数是一个奇函数，并且函数的定义域包含0，所以只要写出f（0）=0，得到关于a的等式，解方程即可．
点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性的判断与证明，是一个考查奇偶性和单调性的综合问题，注意这种问题一般是用定义来证明的．