Question

12．已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=-1和x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导函数f′（x）=3x²-2ax+b，利用函数f（x）在x=-1和x=3时取得极值，可求a，b；
（2）当x∈[-2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，即转化为f（x）的最小值小于2|c|即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）在x=-1和x=3时取极值，∴-1，3是方程3x²-2ax+b=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=\frac{2}{3}a}\\{-1×3=\frac{b}{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-9}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，f′（x）=3x²-6x-9，当x变化时，有下表

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	Max c+5	↘	Min c-27	↗

而f（-2）=c-2，f（6）=c+54，∴x∈[-2，6]时f（x）的最大值为c+54
要使f（x）＜2|c|恒成立，只要c+54＜2|c|即可
当c≥0时，c+54＜2c，∴c＞54，当c＜0时，c+54＜-2c，∴c＜-18
∴c∈（-∞，-18）∪（54，+∞）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值，利用最值解决恒成立问题，要注意常规方法．