Question

在极坐标系中，定点A（2，

π

2

），点B在直线ρcosθ+

3

ρsinθ=0上运动，则线段AB的最短长度为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：将直线ρcosθ+

3

ρsinθ=0化为一般方程，再利用线段AB最短可知直线AB与已知直线垂直，设出直线AB的方程，联立方程求出B的坐标，从而求解．

解答： 解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+

3

ρsinθ=0，
可得x+

3

y=0…①，
∵在极坐标系中，定点A（2，

π

2

），
∴在直角坐标系中，定点A（0，2），
∵动点B在直线x+

3

y=0上运动，
∴当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x+

3

y=0，
∴k_AB=

3

，
设直线AB为：y-2=

3

x，即y=

3

x+2…②，
联立方程①②求得交点B（-

3

2

，

1

2

），
∴|AB|=

( 3 2 )2+(2- 1 2 )2

=

3

．
故答案为：

3

．

点评：此题主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关系：ρ=

x2+y2

，tanθ=

y

x

，x=ρcosθ，y=ρsinθ．