Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+ （b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）＜ ．
（3）若正实数m，n满足mn=1，证明： + ＜2（m+n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= ﹣axlnx的导数为f′（x）= ﹣alnx﹣a，

由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）= =b+1+ ，

解得a=1，b=﹣1；

（2）解：证明：f（x）= ﹣xlnx＜ ，即为 ﹣ ＜xlnx，

令g（x）= ﹣ ，g′（x）= ，

则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

g（x）的最大值为g（1）=﹣ ，当且仅当x=1时等号成立．

又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，

则h（x）在（0， ）递减，在（ ，+∞）递增，

则h（x）的最小值为h（ ）=﹣ ，当且仅当x= 等号成立，

因此 ﹣ ＜xlnx，即f（x）＜

（3）解：证明：由（2）可得 ﹣mlnm＜ ，即 ﹣lnm＜ ，

两边同乘以e，可得 ﹣elnm＜ ，

同理可得， ﹣elnn＜ ，

两式相加，可得： ＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+ =2（m+n）．

故 ＜2（m+n）

【解析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证 ﹣ ＜xlnx，令g（x）= ﹣ ，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得 ﹣mlnm＜ ，即 ﹣lnm＜ ，两边乘以e，可得一不等式，同理可得， ﹣elnn＜ ，两式相加结合条件，即可得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．