Question

设函数f(x)=ax-

b

x

，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2））在曲线上，利用方程联立解出a，b
（2）可以设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．

解答：解析：（1）方程7x-4y-12=0可化为y=

7

4

x-3，当x=2时，y=

1

2

，
又f′(x)=a+

b

x2

，于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

，解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．

（2）设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，由y′=1+

3

x2

知曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-y0=(1+

3

x02

)(x-x0)，即y-(x0-

3

x0

)=(1+

3

x02

)(x-x0)
令x=0，得y=-

6

x0

，从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0，-

6

x0

)；
令y=x，得y=x=2x₀，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀）；
所以点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

1

2

|-

6

x0

||2x0|=6．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

点评：高考考点：导数及直线方程的相关知识
易错点：运算量大，不仔细而出错．
备考提示：运算能力一直是高考考查的能力之一，近年来，对运算能力的要求降低了，但对准确率的要求提高了．