Question

已知圆C的圆心坐标为C（2，-1），且被直线x-y-1=0所截得弦长是2

2

，
（1）求圆的方程；
（2）已知A为直线l：x-y+1=0上一动点，过点A的直线与圆相切于点B，求切线段|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知x-y-1=0的距离d，由弦长的一半及弦心距，利用垂径定理及勾股定理求出圆的半径，由圆心与半径写出圆的标准方程即可；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线x-y+1=0的距离，此距离为圆心到直线的最短距离，此时垂足为A的位置，由圆的半径，利用勾股定理求出此时切相等的长即可．

解答：解：（1）∵圆心C（2，-1）到直线x-y-1=0的距离d=

2+1-1

2

=

2

，截取的弦长为2

2

，
∴圆的半径r=

( 2 )2+( 2 2 2 )2

=2，
则圆C的方程为（x-2）²+（y+1）²=4；
（2）∵圆心C（2，-1）到直线x-y+1=0的距离为

2+1+1

2

=2

2

，半径为2，
∴切线段|AB|的最小值为

(2 2 )2-22

=2．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：勾股定理，点到直线的距离公式，以及垂线段最短，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径以及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．