Question

13．证明下列不等式
（1）已知a＞0，b＞0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论．
（2）已知x∈R，a=x²+$\frac{1}{2}$，b=2-x，c=x²-x+1，证明a，b，c至少有一个不小于1．

Answer 1

分析 （1）证明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分条件成立，即要证a²+b²＞a²b+ab²成立，只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立，只需证a²-ab+b²＞ab成立，而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，从而得到证明；
（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．

解答 证明：（1）要证a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，
由此命题得证．
（2）证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3
而a+b+c=2x²-2x+$\frac{1}{2}$+3=2（x-$\frac{1}{2}$）²+3≥3，
两者矛盾；
故a，b，c至少有一个不小于1

点评 本题考查不等式的证明，体会不同方法间的区别联系．注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．