Question

已知椭圆＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

 

Answer 1

≤e＜

【解析】因为PT＝(b＞c)，而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为.依题意有，≥(a－c)，

所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，

所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0　①.

又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，

所以2e2＜1②，联立①②，得≤e＜.