Question

已知函数f(x)=loga

1+x

x-1

（（a＞0且a≠1））．
（1）当x∈（1，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a的值；
（2）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5．当a≥8时，存在最大实数t，使得x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，请写出t与a的关系式．

Answer 1

分析：（1）根据解析式，求出函数的定义域，分析出函数的单调性，结合当x∈（1，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），构造关于a的方程，解方程可得答案．
（2）根据已知求出函数g（x）的解析式，结合a≥8，分析函数的单调性，进而由x∈（1，t]，有-5≤g（x）≤4恒成立，构造出关于t与a的关系式．

解答：解：（1）由已知条件解得定义域为（-∞，-1）∪（1，∞），
由x∈（1，a-2），得a-2＞1，即a＞3（2分）
则f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上是减函数，要使值域为（1，+∞），
有f（a-2）=loga

a-1

a-3

=1
∴a=2+

3

（8分）
（2）g（x）=-ax2+8x+3=-a(x-

4

a

)2+3+

16

a

则函数y=g（x）的对称轴x=

4

a

∵a≥8，
∴x=

4

a

∈(0，

1

2

]
函数y=g（x）在x∈（1，t]上单调减，则1＜x≤t，有g（t）≤g（x）＜g（1）
又g（1）=11-a≤3＜4，而t是最大实数使得x∈（1，t]恒有-5≤g（x）≤4成立，
所以-at²+8t+3=-5，即at²-8t-8=0（16分）

点评：本题是函数图象和性质的综合应用，考查知识点多，综合性强，运算量大，还需要大量的转化，难度较大．