Question

给定两个函数f(x)=

1

3

x3-

m+1

2

x2，g(x)=

1

3

-mx.解决如下问题：
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x的方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据f（x）在x=1处取得极值求出m的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定单调性；
（2）由f（x）在区间（2，+∞）为增函数可转化成f′（x）＞0在区间（2，+∞）上恒成立，化简整理即可求出m的范围；
（3）欲使方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，即函数h（x）=f（x）-g（x）与x轴有三个不同的交点，建立不等关系，求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²-（m+1）x，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=1²-（m+1）=0，
所以m=0
故f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2.（1分）
所以f'（x）=x²-x，
由f'（x）=x²-x=0
解得x=1或x=0
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＞0；
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函数的单调增区间是（-∞，0），（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）（3分）
（Ⅱ）f'（x）=x²-（m+1）x，
因为f（x）在区间（2，+∞）为增函数，
所以x²-（m+1）x≥0在区间（2，+∞）上恒成立，即m+1≤x恒成立（5分）
由于x＞2，
所以m+1≤2，故m≤1．
当m=1时，f'（x）=x²-2x在x∈（2，+∞）恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上单调递增，符合题意．
所以m的取值范围m≤1（7分）
（Ⅲ）设h(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3-

m+1

2

x2+mx-

1

3

，
故h'（x）=（x-m）（x-1）．
令h'（x）=（x-m）（x-1）=0，
得x=m或x=1，
由（Ⅱ）知m≤1①
当m=1时，h'（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上是单调递增，显然不合题意（9分）
②当m＜1时，h（x）h'（x）随x的变化情况如下表：（11分）
欲使方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，即函数h（x）=f（x）-g（x）与x轴有三个不同的交点，由该三次函数图象可知，

＜br/＞- m3 6 + m2 2 - 1 3 ＞0 ＜br/＞ m-1 2 ＜0＜br/＞

，∴

＜br/＞(m-1)(m2-2m-2)＜0 ＜br/＞m＜1＜br/＞

，
解得m＜1-

3

综上所述，m∈(-∞，1-

3

)（12分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．