Question

18．已知0＜a＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，sinα=$\frac{4}{5}$，则sinβ=（　　）

• A． $\frac{7}{25}$
• B． -$\frac{7}{25}$
• C． $\frac{56}{65}$
• D． -$\frac{56}{65}$

Answer 1

分析 利用角的范围和平方关系求出cosα，由α、β的范围和不等式的性质求出α-β的范围，由条件和平方关系求出sin（α-β），由角之间的关系和两角差的正弦函数求出答案．

解答 解：由题意得，$0＜α＜\frac{π}{2}$，且$sinα=\frac{4}{5}$，
∴$cosα=\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\frac{3}{5}$，
∵$-\frac{π}{2}＜β＜0$，
∴α-β∈（0，π），
又cos（α-β）=-$\frac{5}{13}$，则$sin（α-β）=\sqrt{1-{cos}^{2}（α-β）}=\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}=-\frac{56}{65}$，
故选D．

点评 本题考查了同角三角函数的平方关系，两角差的正弦函数，以及三角函数的符号，利用不等式的性质求出角的范围，注意角之间关系的应用，考查了变形、计算能力，属于中档题．