Question

6．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥3\\ 2x+y≤3\end{array}\right.$，则z=3^x-y的最小值是$\frac{1}{27}$．

Answer 1

分析 先根据条件画出可行域，设t=x-y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线t=x-y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．

解答 解：设变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥3\\ 2x+y≤3\end{array}\right.$，
在坐标系中画出可行域三角形，如图示：
，
令t=x-y，将t=x-y整理得到y=x-t，
要求z=3^x-y的最小值即是求直线y=x-t的纵截距的最大值，
当平移直线x-y=0经过点A（0，3）时，x-y最小，
且最小值为：-3，
则目标函数t=x-y的最小值为-3，
故z的最小值是$\frac{1}{27}$，
故答案为：$\frac{1}{27}$．

点评 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．