Question

在平面直角坐标系中，过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设过点P（1，2）的直线方程为y-2=k（x-1），k＜0，由已知条件推导出过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

），从而利用均值定理能求出结果．

解答： 解：设过点P（1，2）的直线方程为y-2=k（x-1），
由题意知k＜0，
由x=0，得y=2-k，
由y=0，得x=1-

2

k

，
∴过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积：
S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

）
=1-

k

2

-

2

k

+1
≥2+2

(- k 2 )•(- 2 k )

=4，
当且仅当-

k

2

=-

2

k

，即k=-2时，取“=”．
∴过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本题考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．