Question

已知过点A（3，-2）的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l₁：x-2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距是

 

．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：当直线l斜率k不存在时，直线l的方程为x=3，不符合条件．当直线l的斜率k存在时，设l的解析式为y+2=k（x-3），即y=kx-3k-2，由已知条件利用两个直角三角形是相似三角形所以斜边长之比等于直角边之比，能求出结果．

解答： 解：当直线l斜率k不存在时，
直线l的方程为x=3，
则交x轴正半轴于点B（3，0），
交直线l₁：x-2y=0于点C（3，

3

2

），
则|AB|=2，|BC|=

3

2

不符合条件．
当直线l的斜率k存在时，设l的解析式为y+2=k（x-3），即y=kx-3k-2，
则直线l交x轴正半轴于点B（

2

k

+3，0），
交直线l₁：x-2y=0于点C（

6k+4

2k-1

，

3k+2

2k-1

），
分别过A点和C点做x轴的垂线，我们发现AB：BC=y_A：y_C，
（两个直角三角形是相似三角形所以斜边长之比等于直角边之比），
∵|AB|=2|BC|，
∴

|-2|

| 3k+2 2k-1 |

=2，解得k=-3或k=-

1

5

（舍），
∴k=-3，∴y轴上的截距为-3k-2=9-2=7．
故答案为：7．

点评：本题考查直线在y轴上截距的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．