Question

已知f（x）满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞2x+m在[-1，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出函数f（x）的解析式，分别由f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求出a，b，c的值；
（2）将不等式变形为m＜x²-3x+1的形式，求出x²-3x+1在区间[-1，1]上的最小值即可．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
由f（0）=1，得c=1，
由f（x+1）-f（x）=2x得：
a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2x，
化简，解得：a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1．
（2）由题f（x）=x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即m＜x²-3x+1，x∈[-1，1]，
令y=x²-3x+1，对称轴x=

3

2

，
∴函数y=x²-3x+1在[-1，1]单调递减，
则m＜（x²-3x+1）_min=-1，
∴m＜-1．

点评：本题考察了二次函数的性质，求二次函数的解析式以及二次函数在闭区间上的最值问题，本题是一道基础题．