Question

8．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（402）=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 0

Answer 1

分析 先得出y=f（x）的图象关于直线x=0对称，即该函数为偶函数，再得出f（x）是一个以4为周期的函数，最后直接运用周期性确定函数的值．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，
即f（x）为偶函数，所以，f（-2）=f（2），
又因为f（x+4）-f（x）=2f（2），
令x=-2代入得，f（2）-f（-2）=2f（2），
所以，f（2）=0，
即f（x+4）-f（x）=0，所以，f（x）是一个以4为周期的函数，
而f（402）=f（4×100+2）=f（2）=0，
故答案为：D．

点评 本题主要考查了抽象函数奇偶性的判断和周期的确定，并运用函数的奇偶性和周期性确定函数的值，属于中档题．