Question

已知直线l过双曲线的左焦点F，且与以实轴为直径的圆相切，若直线l与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得：设直线l的方程为：y=

b

a

(x-c)，则P（

c

2

，-

bc

2a

），因为P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，所以PA₁⊥PA₂，再结合b²=c²-a²可得答案．

解答：解：由题意可得：双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为：y=±

b

a

x，
所以设直线l的方程为：y=

b

a

(x-c)，
则直线l与双曲线的另一条渐近线的交点为：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=（-a-

c

2

，

bc

2a

），

PA2

=（a-

c

2

，

bc

2a

）．
因为P恰好在以A₁A₂为直径的圆上，
所以PA₁⊥PA₂，即

PA1

•

PA2

=0，即（-a-

c

2

，

bc

2a

）•（a-

c

2

，

bc

2a

）=0
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以结合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

，
故答案为：

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握双曲线的标准方程与有关数值之间的关系，以及双曲线的有关性质．