Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[-2，0）时，f（x）=(

2

2

)x-1，若在区间（-2，6）内的关于x的方程f（x）-logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（

  1

  4

  ，1）
• B．（1，4）
• C．（1，8）
• D．（8，+∞）

Answer 1

分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（-2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．

解答：解：∵当x∈[-2，0）时，f（x）=(

2

2

)x-1，
∴当x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），
∴f（-x）=(

2

2

)-x-1=(

2

)x-1，又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=(

2

)x-1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵在区间（-2，6）内的关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，
令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在区间（-2，6）内有有4个交点，
在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（-2，6）内的图象，
∴0＜log_a（6+2）＜1，
∴a＞8．
故选D．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（-2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题．