Question

1．设函数y=f（x）在R上有定义，对于给定的正数k，定义函数f_k（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）\\;f（x）≤k}\\{k\\;f（x）＞k}\end{array}\right.$，若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}\\;x≥0}\\{{2}^{x}\\;x＜0}\end{array}\right.$，则函数f${\;}_{\frac{1}{2}}$（x）的单调递减区间为（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先根据定义，求出函数f_k（x）的表达式，然后利用分段函数，确定函数的单调减区间．

解答 解：由定义可知当k=$\frac{1}{2}$时，
f${\;}_{\frac{1}{2}}$（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），}&{f（x）≤\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}，}&{f（x）＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象如图：
则当x≥0是，由f（x）≤$\frac{1}{2}$得x≥1．由f（x）$＞\frac{1}{2}$得0≤x＜1，
当x＜0是，由f（x）≤$\frac{1}{2}$得x≤-1．由f（x）$＞\frac{1}{2}$得-1＜x≤0，
即f${\;}_{\frac{1}{2}}$（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，}&{x≥1}\\{\frac{1}{2}，}&{-1＜x＜1}\\{{2}^{x}，}&{x≤-1}\end{array}\right.$，
所以当x≥1时，函数单调递减，即函数f_K（x）的单调递减区间为[1，+∞）．
故选D．

点评 本题考查了新定义以及指数函数的图象和性质，先利用定义求出函数的表达式，是解决本题的关键．