Question

记（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）的展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，其中x∈N^*．
（1）求a_n，b_n；                                                                    
（2）是否存在常数p、q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），对n∈N^*，n≥2恒成立？

Answer 1

考点：数列的求和,排列、组合的实际应用

专题：计算题,压轴题,等差数列与等比数列,二项式定理

分析：（1）由二项式定理得递推公式：a_n+1=a_n+

1

2n+1

，b_n+1=b_n+

an

2n+1

，从而求a_n=1-(

1

2

)n，b_n=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
（2）假设存在，则

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

，化简得p+q=-3，pq=2，从而解出p=-2，q=-1．

解答： 解：（1）∵f（x，n）=（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）=g（x，n）x³+b_nx²+a_nx+1，
∴f（x，n+1）=f（x，n）（1+

x

2n+1

），
∴g（x，n+1）x³+b_n+1x²+a_n+1x+1=[g（x，n）x³+b_nx²+a_nx+1]（1+

x

2n+1

）
比较x系数有：a_n+1=a_n+

1

2n+1

，比较x²系数有：b_n+1=b_n+

an

2n+1

，
又∵a₁=

1

2

，b₁=0；
∴a_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n；
∴b_n+1=b_n+

an

2n+1

=b_n+

1

2n+1

-

1

22n+1

；
∴b_n=b₁+（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-（

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

）
=0+（

1

2

-

1

2n

）-

1

6

（1-

1

22n-2

）
=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
∴a_n=1-(

1

2

)n，b_n=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

；
（2）若存在常数p．q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），对n∈N^*，n≥2恒成立，
则有

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

1

3•22n-1

，
即（1+

p

2n

）（1+

q

2n

）=1-3

1

2n

+2(

1

2n

)2，
则p+q=-3，pq=2，
解得p=-2，q=-1．

点评：本题考查了二项式的分解及由递推公式求通项公式的方法，同时考查了拆项求和与公式法求和，属于压轴题．化简也比较困难，需要细心．