Question

角α，β为锐角，向量

m

=(sinα，-2)，

n

=(1，cosα)，

m

⊥

n

（1）求sinα与cosα的值．
（2）若sin(α-β)=

10

10

，求β的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

m

•

n

=sinα-2cosα=0，即 tanα=2，再由角α，β为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出sinα与cosα的值．
（2）由-

π

2

＜α-β＜

π

2

，sin(α-β)=

10

10

，求得cos（α-β） 的值，再由cosβ=cos[（α-β）-α]利用两角差的余弦公式求得结果．

解答：解：（1）由题意可得

m

•

n

=sinα-2cosα=0，即 tanα=2，再由角α，β为锐角，sin²α+cos²α=1，
求得sinα=

2 5

5

，cosα=

5

5

．
（2）由于-

π

2

＜α-β＜

π

2

，sin(α-β)=

10

10

，∴cos（α-β）=

3 10

10

．
故cosβ=cos[（α-β）-α]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

，
∴β=

π

4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．