Question

设函数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵当a=1时，，…（1分）
f'（x）=-x²+4x-3…（2分）
当x=3时，f（3）=1，f'（3）=0 …（3分）
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-1=0…（4分）
（II）f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a）…（5分）a=0时，f'（x）≤0，（-∞，∞）是函数的单调减区间；无极值；…（6分）
a＞0时，在区间（-∞，a），（3a，∞）上，f'（x）＜0； 在区间（a，3a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，a），（3a，∞）是函数的单调减区间，（a，3a）是函数的单调增区间，
函数的极大值是f（3a）=a；函数的极小值是；…（8分）
a＜0时，在区间（-∞，3a），（a，∞）上，f'（x）＜0； 在区间（3a，a）上，f'（x）＞0，
因此（-∞，3a），（a，∞）是函数的单调减区间，（3a，a）是函数的单调增区间
函数的极大值是，函数的极小值是f（3a）=a…（10分）
（ III） 根据（II）问的结论，x∈（3a，a）时，…（11分）
因此，不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立必须且只需：，
解之，得 …（13分）
分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=3时的导数，再用点斜式求出直线方程．
（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．
（ III） 根据（II）问的结论，x∈（3a，a）时，，从而根据不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立列出关于a的不等关系，即可求出a的取值范围．
点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．