Question

【题目】在数列{an}中，a1= ，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N*）．
（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知 ， =（2n﹣1）an，分别取n=2，3，4，5，

得 ， ， ， ；

所以数列的前5项是： ， ， ， ，

（2）解：由（1）中的分析可以猜想 （n∈N*）．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，猜想显然成立．

②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即 ．

那么由已知，得 ，

即a1+a2+a3+…+ak=（2k2+3k）ak+1．所以（2k2﹣k）ak=（2k2+3k）ak+1，

即（2k﹣1）ak=（2k+3）ak+1，又由归纳假设，得 ，

所以 ，即当n=k+1时，猜想也成立．

综上①和②知，对一切n∈N*，都有 成立

【解析】（1）利用数列{an}前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍，推出关系式，通过n=2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列{an}的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n=1成立；第二步，假设n=k猜想成立，然后证明n=k+1时猜想也成立．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数学归纳法的定义(数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法)．