Question

1．已知O为△ABC外接圆的圆心，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AC}|=5$，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到OD⊥AC，OE⊥AB，根据数量积的计算公式及条件即可得出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{25}{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{9}{2}$，而$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，从而便可得出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：

OD⊥AC，OE⊥AB；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}=\frac{25}{2}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}=\frac{9}{2}$；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$
=$\frac{25}{2}-\frac{9}{2}$
=8．
故选：C．

点评 考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义．