Question

11．设函数f（x）=x²-2x
（Ⅰ）解不等式|f（x）|+|x²+2x|≥6|x|；
（Ⅱ）若实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式化为因式乘积的形式，利用绝对值不等式的几何意义，求解即可．
（Ⅱ）直接利用因式分解，放缩法，绝对值的性质，证明即可．

解答 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）原不等式|f（x）|+|x²+2x|≥6|x|可化为：（|x-2|+|x+2|）|x|≥6|x|；解得x≤-3或x≥3
，或x=0．
所以，原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥3，或x=0}； …（5分）
（Ⅱ）证明：∵f（x）=x²-2x，|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|
=|x²-2x-a²+2a|
=|x-a||x+a-2|
＜|x+a-2|
=|（x-a）+2a-2|
≤|x-a|+|2a-2|
＜1+2|a|+2
=2|a|+3，
∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，绝对值的几何意义，考查逻辑推理能力以及计算能力．