Question

已知函数f(x)=2n-x在［0,+∞)上的最小值是a_n(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)证明++…+＜;

(3)在点列A_n(2n,a_n)中是否存在两点A_i、A_j(i、j∈N^*),使直线A_iA_j的斜率为1?若存在,求出所有的数对(i,j);若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)解：由f(x)=2n-x，得f′(x)=-1.

    令f′(x)=0，得x=.

    当x∈(0,)时,f′(x)＜0；

    当x∈(,+∞)时,f′(x)＞0.

∴f(x)在［0,+∞］上,当x=时取得最小值.

∴a_n=.

(2)证明：∵==(-),

∴++…+

=［(1-)+(-)+…+(-)］

=(1-)＜.

(3)解：不存在.

设A_i(2i,a_i)、A_j(2j,a_j)(其中i、j∈N^*)，

    则===.

    又＞=1,故不存在.