Question

已知a∈R，函数f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程;

(Ⅱ)若|a|＞1，求f(x)在闭区间[0，|2a|]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x²-12x+6，所以f′（2）=6
∵f（2）=4，    ∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8；

（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a）
令f′（x）=0，得到x₁=1，x₂=a
当a＞1时，

x	0	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2a）	2a
f'(x)		+	0	-	0	+
f(x)	0	单调递增	极大值3a-1	单调递减	极小值a2(3-a)	单调递增	4a3

比较f(0)=0和f(a)=a²(3-a)的大小可得g(a)=

当a＜-1时，

x	??0	（0，1）	1	（1，-2a）	-2a
f'(x)		-	0	+
f(x)	0	单调递减	极小值3a-1	单调递增	-28a3-24a2

∴g(a)=3a-1

∴f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值为g(a)=

（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．