已知等比数列{an}的公比为q,前n项的和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列.
(1)求q3的值;
(2)求证:a2,a8,a5成等差数列.
分析:(1)由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,然后考虑当q=1时关系式不成立,所以当q不等于1时,利用等比数列的前n项和的公式化简此等式,根据q不等于1,利用换元法即可求出q3的值;
(2)由q3的值分别表示出a8和a5,然后分别求出a8-a2和a5-a8的值,得到两者的值相等即可得证.
解答:解:(1)由S
3,S
9,S
6成等差数列,得S
3+S
6=2S
9,
若q=1,则S
3+S
6=9a
1,2S
9=18a
1,
由a
1≠0得S
3+S
6≠2S
9,与题意不符,所以q≠1.
由S
3+S
6=2S
9,得
+=.
整理,得q
3+q
6=2q
9,由q≠0,1,
设t=q
3,则2t
2-t-1=0,解得t=1(舍去)或t=-
,
所以
q3=-;
(2)由(1)知:
a8=a2×q6=a2,
a5=a2×q3=-a2则a
8-a
2=a
5-a
8,
所以a
2,a
8,a
5成等差数列.
点评:此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值,是一道中档题.