Question

已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．
(1)求双曲线方程；
(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若= 2，求直线l的方程．

Answer 1

(1)
(2)y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

(1)由题意可设所求的双曲线方程为，
则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，
所以所求的双曲线方程为 ．
(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，
所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，
令x＝0，得M(0，2k)，
因为= 2|M，Q，F共线于l，
所以= 2或= －2
当=2时，， ，
所以Q的坐标(－，)
因为Q在双曲线上，
所以，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．
当= －2时，
同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，
16－＝1，所以k＝±，
所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．
综上，所求的直线l的方程为y＝± (x＋2)或y＝±(x＋2)．