Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，，为正三角形，且平面平面．

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连接PO，OC，

∵为正三角形，∴                            

又∵在四边形ABCD中，

，∴BC∥AO,且BC=AO

∴四边形ABCO为平行四边形，∴                    

∴，∴                             

(Ⅱ)(法一)：由（Ⅰ）知，且平面平面∴平面，所以分别以OC，OA，OP为x轴，y轴，z轴建立如图

所示的直角坐标系，并设BC=1，则AB=AD=2，,

∴，，，，

∴，,,    

设平面APD，平面PDC的法向量分别为

则∴

∴分别取平面APD，平面PDC的一个法向量

∴

∴二面角的余弦值为                         

(法一)：由（Ⅰ）知，且平面平面∴平面，

过O点作,垂足为E,连接CE，则，于是为所求二面角的一个平面角，设BC=1，则AB=AD=2，,OD=1，OC=2，，,

∴∴二面角的余弦值为