Question

已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4．

（1）求实数a，b的值；

（2）求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．

 

Answer 1

（1）；（2）5x﹣7y+12=0．

【解析】

试题分析：（1）先写出矩阵A的特征多项式，再结合由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点即可求得a，b．

（2）先直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），根据矩阵变换得出它们之间的关系，从而求直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．

【解析】
（1）矩阵A的特征多项式为：f（λ）=，

即f（λ）=λ2﹣（b+2）λ+2b﹣2a，

由于λ1=﹣1和λ2=4是此函数的零点，

∴⇒

（2）由上知，M=，

设直线x﹣2y﹣3=0上任一点（x，y）

在矩阵M所对应的线性变换作用下的像（x′，y′），

由=得到：，

代入x﹣2y﹣3=0化简得到5x′﹣7y′+12=0．

直线x﹣2y﹣3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程5x﹣7y+12=0．