Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左右焦点，离心率为e．若椭圆右准线上存在点P，使线段PF₁的中垂线过点F₂，则

e2+1

e

的最大值为（　　）

• A、2
• B、

  4 3

  3

• C、

  3 2

  2

• D、

  10

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的右准线方程和右焦点，由PF₂≥

a2

c

-c，结合离心率公式，解不等式得到e的范围，再由对勾函数的单调性，即可得到最大值．

解答： 解：椭圆的右准线方程为：x=

a2

c

，右焦点为（c，0），
由于线段PF₁的中垂线过点F₂，
则PF₂=F₁F₂=2c，
又PF₂≥

a2

c

-c，
即3c²≥a²，即有

3

c≥a，
则e=

c

a

≥

3

3

，则

3

3

≤e＜1．
则

e2+1

e

=e+

1

e

在[

3

3

，1）上递减，
则有e=

3

3

时，取得最大值

3

+

3

3

=

4 3

3

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查中垂线的性质，及对勾函数的性质及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．