Question

已知f（x）=

3

sin²x+sinxcosx+

2- 3

2

．
（1）求f（x）的周期和单调减区间；
（2）求f（x）的对称轴；
（3）求f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上的最值并求出取最值时的x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（2x-

π

3

）+1，从而可求f（x）的周期和单调减区间；
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的对称轴；
（3）先求2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]，从而可求f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上的最值并求出取最值时的x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin²x+sinxcosx+

2- 3

2

=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x+

2- 3

2

=sin（2x-

π

3

）+1
∴T=

2π

2

=π
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z
∴f（x）的周期为π，单调减区间是：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）由2x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的对称轴为：x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z
（3）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]
∴2x-

π

3

∈[-π，

π

3

]
∴当x=

π

3

时，f（x）_max=f（

π

3

）=

3

2

+1
当x=-

π

12

时，f（x）_min=f（-

π

12

）=0

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．