Question

【题目】如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE.

（1）求证：平面平面DCE；

（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明平面ABE，平面平面DCE即得证；

（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求直线FA与平面ADE所成角的正弦值得解.

（1）证明：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，

，同理.

所以，

又平面平面BCE，平面平面，

所以平面ABE，又平面，

所以平面平面DCE.

（2）

如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，

则.

向量，设平面ADE的法向量为

由，得，令，

得平面ADE的一个法向量为，

又，

设直线FA与平面ADE所成角为，

则

所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.