【题目】各项均为正数的数列的前
项和为
,且对任意正整数
,都有
.
(1)求数列的通项公式;
(2)如果等比数列共有2016项,其首项与公比均为2,在数列
的每相邻两项
与
之间插入
个
后,得到一个新的数列
.求数列
中所有项的和;
(3)是否存在实数,使得存在
,使不等式
成立,若存在,求实数
的范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)存在,
【解析】
(1)运用数列的通项和前项和的关系,结合等差数列的定义和通项公式,即可得到;
(2)运用等比数列的求和公式和数列求和方法:分组求和,即可得到所求;
(3)运用参数分离可得,运用基本不等式和单调性,分别求出不等式左右两边的最值,即可得到所求范围.
解:(1)当时,由
得
,
当时,由
,
得
,
因数列的各项均为正数,所以
,
所以数列是首项与公差均为1的等差数列,
所以数列的通项公式为
.
(2)数列的通项公式为
.
数列中一共有
项,其所有项的和为
.
(3) 由得
,
,
记,
,
,
因为,当
取等号,所以
取不到
,
当时,
的最小值为
,
递减,
的最大值为
.
所以如果存在,使不等式
成立,
实数应满足
,即实数
的范围应为
.
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【题目】已知集合函数
,函数
的值域为
,
(1)若不等式的解集为
,求
的值;
(2)在(1)的条件下,若恒成立,求
的取值范围;
(3)若关于的不等式
的解集
,求实数
的值
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【题目】如果函数的定义域为
,且存在实常数
,使得对定义域内的任意
,都有
恒成立,那么称此函数具有“
性质”.
(1)判断函数是否具有“
性质”,若具有“
性质”,求出所有
的值,若不具有“
性质”,请说明理由;
(2)已知具有“
性质”,且当
时,
,求
在
的最大值;
(3)已知函数既具有“
性质”,又具有“
性质”且当
时,
,若函数
图象与直线
的公共点有
个,求
的取值范围.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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【题目】已知数列,
为其前n项的和,满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为
,数列
的前n项和为
,求证:当
时
;
(3)若函数的定义域为R,并且
,求证
.
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【题目】已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线
相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过
轴上的定点?试证明你的结论.
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【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥的底面
是直角梯形,
,
,侧面
底面
,
是等边三角形,
,点
分别是棱
的中点 .
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上存在一点
,使
平面
,且
,求
的值.
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