Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点，求证：A₁C∥平面BDE．

Answer 1

证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接AC交BD于
点O，连接EO，则有O为AC的中点，
又E是的AA₁的中点，∴EO为△A₁AC的中位线，
∴EO∥A₁C，∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．
分析：欲证A₁C∥平面BED，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A₁C与平面BED内一直线平行即可，连接AC交BD于点O，连接EO，根据中位线可知EO∥A₁C，而EO?平面BED，A₁C?平面BED，满足定理所需条件．
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．