Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）是否存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
则f（x）为奇函数．
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=$\frac{{e}^{x}+1-2}{{e}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
则f（x）在R上的单调性递增，
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$-（1-$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$）=（$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$）=$\frac{2（{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}）}{（{e}^{{x}_{1}}+1）（{e}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{1}}$＜${e}^{{x}_{2}}$，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），即函数为增函数．
（3）若存在实数t，使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立，
则f（x²-t²）≥-f（x-t）=f（t-x）．
即x²-t²≥t-x．
即x²+x≥t²+t恒成立，
设y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，2]，
∴y∈[2，6]，
即t²+t≤2，
即t²+t-2≤0．
解得-2≤t≤1，
即存在实数t，当-2≤t≤1时使不等式f（x-t）+f（x²-t²）≥0对一切x∈[1，2]恒成立．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．